【推荐1】已知数列中，，前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 ，证明： ，.

【推荐2】已知数列的各项均为正数，其前项和.
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）设；若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间(0，2020)内所有“优化数”的和S.

【推荐3】甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 (n²－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？

【推荐1】已知数列{a_n}是正项等差数列，其中a₁＝1，且a₂、a₄、a₆+2成等比数列；数列{b_n}的前n项和为S_n，满足2S_n+b_n＝1．
(1)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
(2)如果c_n＝a_nb_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得T_n＞S_n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．

【推荐2】已知数列中，，且，为其前项的和．

(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的最小正整数的值；
(3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围．

【推荐3】已知点，，…，，…（为正整数）顺次为一条直线上的点，点，，…，，…（为正整数）顺次为轴上的点，其中，对任意正整数，点，，构成以为顶点的等腰三角形.
(1)求点的坐标；
(2)求点的横坐标；
(3)上述等腰三角形中，是否可能存在直角三角形？若可能，求此时的值；若不可能，请说明理由.