【推荐1】设为坐标原点，动点在椭圆:上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设，在x轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

【推荐2】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.

【推荐3】在平面直角坐标系Oxy中，点M是以原点O为圆心，半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心，半径为的圆与线段OM交于点N，作轴于点D，作于点Q.
(1)令，若，，，求点Q的坐标；
(2)若点Q的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(3)设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正负半轴分别交于点，，若点E､F分别满足，，设直线和的交点为K，设直线：及点，（其中），证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值.

【推荐2】椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，当为直角时，求直线的斜率.

【推荐3】如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．