【推荐1】如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为2万元/，段的引水管道造价为万元/，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，万元.

(1)求的值，并将表示为的函数；
(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点， ，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.

（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？
（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.

【推荐3】如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点为圆心，为半径作圆弧，将作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自点起，改为直道.已知千米，点A到OM，ON的距离分别为千米和1千米，，且千米，记.

（1）求的取值范围；
（2）已知弧形线路的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？

【推荐1】如图，在四边形中，，，，，.

（1）求；
（2）求的长.

【推荐2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足.
(1)求；
(2)设的角平分线与直线AC交于点E，求证：.

【推荐3】如图，是的直径，点、在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点、，连接.

（1）求证：是的切线；
（2）已知圆的半径为2，求的长.