【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且，的周长为8.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

【推荐2】设椭圆的左、右焦点分别为F₁与
F₂，直线过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切
且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围．（O为坐标原点）

【推荐3】已知椭圆的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点、，的周长为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积；
(3)过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？.

【推荐1】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，椭圆的右顶点为，上顶点为已知四边形内接于椭圆，.记直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？证明你的结论.

【推荐2】已知，是椭圆的左､右焦点，P是的上顶点.F₁到直线PF₂的距离为.
(1)求的方程；
(2)设直线与x轴的交点为M，过M的两条直线l₁，l₂都不垂直于y轴，l₁与交于点A，B，l₂与交于点C，D，直线AC，BD与l分别交于E，G两点，求证：.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆C交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线l的斜率．