2 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

3 . 如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形．

4 . 已知：如图，在中，分别平分．

求证：
(1)；
(2)．

5 . 如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论：
；四边形是平行四边形；其中正确的有（　　）

   

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

6 . 如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的序号有______．

   

7 . 如图，平行四边形中，，，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，．

①当_______时，四边形是菱形；
②当_______时，四边形是矩形；
请选择其中一个结论证明．

8 . 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），请你根据图形写出已知和求证，并完成证明过程．
已知：　　　　　　　　，求证：　　　　　　　．
证明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
(2)如图2，在平行四边形 中，对角线和相交于点O，，，．求证：平行四边形是菱形．

9 . 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)添加一个条件，使四边形为矩形，不需要说明理由．

10 . 如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：．