1 . 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.

2 . 设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，均不成立，则称S为反链.设S₁为包含集合最多的反链，S₂是任意反链.证明：存在S₂到S₁的单射f，满足或成立.

3 . 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.
（1）求证：；
（2）若，且，求实数的取值范围.

4 . 证明对所有的正整数，存在一个集合，满足如下条件：
（1）由都小于的个正整数组成；
（2）对的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．

5 . 已知、、，集合，且为的个不同的元子集.证明：存在集合、满足下列条件：
（1），；
（2）在，这个集合中至多有个为空集.

6 . 对集合（），若对于任何的不能整除的任何一个非空子集的元素和，则称是“好集”（表示集合除去元素后的集合）．
（1）若是好集，求的最小值；
（2）证明：集合不是好集，其中，．

7 . 46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二题的选手59人，做对第一、三题的选手29人，做对第一、四题的选手15人，四个题全做对的选手3人.存在这样的选手，他做对了前三个题，但没有做对第四题.求证：存在一个国家，这个国家派出的选手中至少有4个人，他们恰好只做对了第一题.

8 . 集合.如果满足：其任意三个元素、、，均有，则称具有“性质”.为方便起见，简记.具有性质的所含元素最多的集合称为“最大集”.试问：具有性质的最大集共有多少个？并给出证明.

9 . 集合．试问:在集合A中，是否一定存在两个元素，使不等式成立？若存在，请给出证明;若不存在，说明理由．

10 . 设为等差数列，为公差，且和均为实数，，它的前项和记作.设集合，.
下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举一个例子说明.
（1）以集合中的元素为坐标的点都在同一直线上；
（2）至少有一个元素；
（3）时，一定有.