2 . 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”.
(1)点是点的“下位点”吗?请简单说明理由;
(2)若点是点的“下位点”，试判断之间的大小关系；
(3)设正整数满足条件:对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位点”，且是的“下位点”，求正整数的最小值.

3 . 对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示.

(1)若，，求集合和；
(2)集合，集合，若，求实数m的取值范围.

4 . 由有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，则称集合满足性质.
(1)已知，，判断集合，是否满足性质，并说明理由；
(2)设集合，且（），若集合满足性质，求的最大值.

6 . 对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
(1)若，求；
(2)若集合，证明：的充要条件是.

7 . 已知集合S满足:若，则.请解答下列问题:
(1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若，则.
(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.

8 . 若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则；
(3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，，则必有；
命题：若，，且，则必有.

9 . 已知集合或，集合.

(1)若，求和；
(2)若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求当时；
(3)若，求实数的取值范围.

10 . 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，．
(1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若，则；
(3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有．