1 . 设X，Y为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在
上给出一个非单射的映射；(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．
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2 . 映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用．例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分．下面是某省选考科目的赋分规则：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81，87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（ ）
等级原始分占比赋分区间
| A | 3% | [91,100] |
| B+ | 79% | [81,90] |
| B | 16% | [71,80] |
| C+ | 24% | [61,70] |
| C | 24% | [51,60] |
| D+ | 16% | [41,50] |
| D | 7% | [31,40] |
| E | 3% | [21,30] |
转换对应赋分T的公式： 其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限（T的结果按四舍五入取整数） | ||
| A．91 | B．92 | C．93 | D．94 |
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3 . 据历史记载，美日在中途岛(Midway)海战前，美方截获了日方密码电报，据美方已破译的密码得知，日方将向某岛进行军事活动，但关键含有地点的部分却被日方换成了另一种密码．经专家研究，估计是一种密匙密码，且密匙为3位．所谓密匙密码是指：将一段英文字母的明文(未加密前原文)经过对某一组数字(即密匙)的变换，改变成了另一组英文字母成为密文(加密后的文字)例如：明文：
(不计空格，不计大小写)在密匙为：1 9 2的条件下，变换过程如下图所示：
则密文为：
，试根据上面信息回答下面问题：
（1）在密匙为111的条件下，填写下表，并写出密文；
密文____________________．
（2）若
请填写下表，并写出密匙；
密匙为_____________．
（3)若下面即是那段包含地点(Midway)的破译不出的密文：
,且此段密文也是3位密匙加密，试填写下表，写出密匙，并将此段密文翻译成明文．（不必证明，写出明文即可）
密匙为___________，明文为_________．
(不计空格，不计大小写)在密匙为：1 9 2的条件下，变换过程如下图所示：s | t | u | d | e | n | t |
1 | 9 | 2 | 1 | 9 | 2 | 1 |
t | c | w | e | n | p | u |
，试根据上面信息回答下面问题：（1）在密匙为111的条件下，填写下表，并写出密文；
s | t | u | d | e | n | t |
（2）若
请填写下表，并写出密匙；s | t | u | d | e | n | t |
（3)若下面即是那段包含地点(Midway)的破译不出的密文：
,且此段密文也是3位密匙加密，试填写下表，写出密匙，并将此段密文翻译成明文．（不必证明，写出明文即可）| c | w | b | c | f | s | o | l | l | y | d | g |
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2011·四川成都·一模
名校
4 . a、b为实数，集合
表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则
表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则| A．1 | B．0 | C．－1 | D．±1 |
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名校
5 . 已知集合A中元素
在映射f下对应B中元素
，则B中元素
在A中对应的元素为（ ）
在映射f下对应B中元素，则B中元素在A中对应的元素为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2016-12-13更新
|
513次组卷
|
4卷引用：四川省宜宾市叙州区第二中学校2024届高三一模数学（理）试题
6 . 已知映射
．设点
，
，点
是线段
上一动点，
．当点在线段上从点
开始运动到点
结束时，点的对应点
所经过的路线长度为.
．设点，，点是线段上一动点，．当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为. A． | B． | C． | D． |
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2016-12-03更新
|
549次组卷
|
2卷引用：2015届浙江省高三第二次考试五校联考理科数学试卷
7 . 已知向量
，
，
满足
=0，且|
|=||，
>0
(1)求向量；
(2)若映射
①求映射f下（1，2）原象；
②若将（x，y）作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由．
，，满足=0，且||=||，>0(1)求向量
；(2)若映射
①求映射f下（1，2）原象；
②若将（x，y）作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由．
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8 . 给定集合
，
.若是
的映射，且满足：
（1）任取
若
，则
；
（2）任取
若
，则有
.
则称映射为的一个“优映射”.
例如：用表1表示的映射：
是一个“优映射”.
（1）已知：
是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若：
是“优映射”，且
，则
的最大值为_____ .
，.若是的映射，且满足：（1）任取
若，则；（2）任取
若，则有.则称映射
为的一个“优映射”.例如：用表1表示的映射
：是一个“优映射”. （1）已知
：是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若
：是“优映射”，且，则的最大值为_____ .
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