1 . 已知函数．
（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；
（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；
（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．

2 . 已知定义在上的函数满足以下三个条件：
①对任意实数，都有；
②；
③在区间上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：；
（3）解不等式．

3 . 设函数的定义域为.若存在实数使得，均对任意成立，则称为“型—函数”.
（1）若是“型—函数”，求的值；
（2）若是“型—函数”，求证：函数是周期函数；
（3）若是“型—函数”，且在上单调递增，求证：存在正实数、，使得对任意成立.

4 . 已知函数的定义域为实数集，及整数、；
（1）若函数，证明；
（2）若，且（其中为正的常数），试证明：函数为周期函数；
（3）若，且当时，，记，求使得小于1000都成立的最大整数.

5 . 设是定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，.
（1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、零点；
（2）试证明是周期函数，并求其在区间（）上的解析式；
（3）方程有三个不等根，求的取值范围.

6 . 记函数的定义域为D. 如果存在实数、使得对任意满
足且的x恒成立，则称为函数.
（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；
（2）设函数，其中常数，证明：是函数；
（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（m为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.

7 . 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.

（1）验证是以为周期的余弦周期函数；

（2）设．证明对任意，存在，使得；

（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.