1 . 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，记

（1）请用来表示矩形的面积.
（2）若，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

2 . 如图，在海岸线l一侧P处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便登岛游客，在l上设立了M，N两个报名接待点，P，M，N三点满足任意两点间的距离为公司拟按以下思路运作：先将M，N两处游客分别乘车集中到MN之间的中转点Q处点Q异于M，N两点，然后乘同一艘游轮由Q处前往P岛据统计，每批游客报名接待点M处需发车2辆，N处需发车4辆，每辆汽车的运费为20元，游轮的运费为120元设，每批游客从各自报名点到P岛所需的运输总成本为T元．

写出T关于的函数表达式，并指出的取值范围；
问：中转点Q距离M处多远时，T最小？

3 . 如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为．

（1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式；
（2）设的长为，求的取值范围；
（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．

4 . 为测量一烟囱高度，在地面上选一直线上的三点.已知，在三点测出烟囱顶部的仰角分别为45°，60°，60°.若三个测量点的高度均为，求烟囱的高度.（精确到）

6 . 几千年的沧桑沉淀，凝练了西樵山的美，清幽秀丽的自然风光，文化底蕴厚重的旅游，古朴自然的民俗风情.自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使秀美的西樵山成为名嗓南粤的旅游热点.如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从乘观光车到，在处停留20分钟后，再从匀速步行到.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路长为2340米，经测量，，.

（1）求观光车路线的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

7 . 为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木 的高度 ，垂直放置的标杆 的高度 ，仰角 三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：
（1）若测得 ，试求 的值；       
（2）经过分析若干测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离 （单位：）使 与 之差较大时，可以提高测量的精确度，.若树木的实际高为 ，试问 为多少时， 最大？
   

8 . 如图，单位圆与轴正半轴相交于点，圆上的动点从点出发沿逆时针旋转一周回到点，设()，的面积为(当三点共线时，)，与的函数关系如图所示的程序框图.
(1)写出程序框图中①②处的函数关系式；

(2)若输出的值为，求点的坐标.

9 . 如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化的效果越好.设计要求管道的接口E是的中点，F，G分别落在，上，且，，设.

（1）当为何值时，的面积S最小，并求出最小值；
（2）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；
（3）当为何值时，污水净化的效果最好，并求此时管道的长度.

10 . 如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，缆车每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为h m．
（1）求h与θ之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t s达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后缆车距离地面的高度．