1 . 如图为英国生物学家高尔顿设计的“高尔顿板”示意图，每一个黑点代表钉在板上的一颗钉子，下方有从左至右依次编号为的格子（此时钉子层数为）.当小球从板口下落时，它将碰到钉子并有的概率向左或向右滚下，继续碰至下一层钓子，依次类推落入底部格子.记小球落入格子的编号为.定义.

(1)直接写出时的分布列；
(2)证明：；
(3)改变格子个数（钉子层数相应改变），进行次实验，第且次实验中向格子最大编号为的高尔顿板中投入个小球，记所有实验中所有小球落入的格子编号之和为.已知无交集的独立事件的期望具有累加性，设每次实验､每次投球相互独立，求关于的表达式.

2 . 定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．

3 . 已知，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 集合（为正整数），集合是的非空子集，定义：中的最大元素与最小元素的差称为集合的长度，则（       ）

A．当时，长度为2的集合的所有元素之和为10

B．当时，含有元素1和53且长度为52的四元集合的个数为720

C．当时，长度为51的所有集合的元素的个数之和为

D．集合的所有子集的元素之和为

5 . 已知为奇函数．
(1)求的值；
(2)若， ，求的值；
(3)当时，，求证：．