1 . 凸多面体的顶点数V，面数F，棱数E之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故；凸多面体的欧拉公式：等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．
(1)若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
(3)试求正多面体的个数，并证明；
(4)若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．

2 . 约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（       ）

   

A．共有15条棱	B．表面积为
C．高为	D．外接球的体积为

3 . 如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（       ）

A．47m

B．48m

C．49m

D．50m

4 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，.
   
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于，分别求出和的值；并猜想与的大小关系（猜想不需证明）
(2)多面体的欧拉定理：简单多面体的面数、棱数与顶点数满足：.已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种.

5 . 用6根长度相等的火柴首尾相接地搭正三角形，最多能搭成_________个正三角形.

6 . 多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示，

碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正五边形面的个数是___________.

7 . 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，所以正方体在各顶点处的曲率为．按照以上约定，四棱锥的总曲率为__________；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为和，则__________0（填“>”，“<”或者“=”）．

8 . 如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（       ）

A．共有20个六边形

B．共有10个五边形

C．共有90条棱

D．共有32个面

9 . 如图所示，该多面体是由1个正方体和6个一样的正四棱锥（如）组合而成，且各个面均为菱形，其中四边形为正方形，已知正方体的棱长为1，则该多面体的棱长为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 十八世纪，数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系，即著名的欧拉公式：.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图，它是由五边形和六边形面构成的多面体，共有60个顶点，每个顶点均为碳原子，且每个顶点引出三条棱，形似足球.根据以上信息知，碳60的所有面中五边形的个数是（       ）
   

A．12

B．20

C．32

D．40