1 . 已知双曲线为双曲线上的任意点.
(1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
(2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

2 . 已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.

4 . 已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的离心率为，点P在双曲线C上，点，分别为双曲线C的左右焦点，.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，，设直线PA，PB的斜率分别为，.证明：为定值.

5 . 已知双曲线，为上的任意点．
(1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设、分别为双曲线的两个焦点，若为钝角，求点的横坐标的取值范围．

6 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；

8 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，，离心率，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于M，N两点，求证：．

9 . 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线的方程．
（2）若点在双曲线上，求证：点M在以为直径的圆上．

10 . 在如图所示的等腰梯形中，，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，试用两种方法证明: