1 . 已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且右焦点到右准线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点的直线与椭圆交于两点，与交于点是弦的中点，直线与交于点.若与的面积之比是，求的长度.

3 . 在平面直角坐标系：中，椭圆的左右顶点分别为，动点为椭圆上一点（异于）.当直线的方程为时，

（1）求椭圆的方程：
（2）过点作直线的垂线，过点作直线的垂线与交于点.求正实数，使得满足的点均在椭圆上.

4 . 如图所示，在平面直角坐标系中，点是抛物线上的点，直线交直线于点.

（1）求长度的最小值；
（2）若点也是抛物线上的点，且，直线交直线于点.求四边形的面积的最小值.

5 . 已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由

6 . 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时，弦AB长4．

求椭圆的方程；
若求直线AB的方程．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的左、右顶点分别为、,点是轴上任意一点(异于点)，过点的直线与椭圆相交于两点.
①若点的坐标为，直线的斜率为，求的面积;
②若点的坐标为，连结交于点，记直线的斜率分别为，证明：是定值.

8 . 有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.

(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；
(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？

9 . 椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足.
①证明：为定值；
②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值.

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若，求的值；
⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.