2 . 已知椭圆   （）的右焦点为，且经过点
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知直线的方程，过点 的直线(不与轴重合)与椭圆相交于两点，过点作，垂足为
①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.

3 . 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.

4 . 已知椭圆的离心率，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点（点与椭圆左、右顶点不重合），且的面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，为的中点，直线交直线于点，过点作∥交直线于点，求证：

6 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.

7 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

8 . 已知椭圆E 的左、右焦点为，过 的直线交椭圆于，两点，的周长为.
(1)求椭圆 的方程;
(2)点，分别为椭圆的上、下顶点，过直线上任意一点 作直线 和 ，分别交椭圆于 ，两点.证明：直线 过定点.

9 . 已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．

10 . 已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．