1 . 已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.

4 . 已知椭圆（a>b>0）的离心率为，长轴长为4，过椭圆左焦点F₁的直线l与椭圆交于点P，Q，P，Q异于顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设N（-4，0），证明：∠PNF₁=∠QNF₁.

5 . 已知椭圆：过点，离心率为，分别为椭圆C的左右顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，满足，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

7 . 设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

8 . 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，且，，成等比数列.是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若点不与椭圆顶点重合，作轴于，的平分线交轴于，试求的值.

9 . 已知椭圆的右焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且以为直径的圆经过原点，求证：点到直线的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求面积的最大值．

10 . 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；
（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．