1 . 已知椭圆的离心率为，为右焦点，上一点满足垂直于轴，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为2的直线交椭圆于，两点，且直线不过原点，求面积的最大值.

2 . 已知椭圆C：（a>b>0)， 直线经过椭圆的上顶点和右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A， B两点.若的面积为，求直线l的方程.

3 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值．

4 . 已知椭圆的焦距为4，短半轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线l的方程.

5 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点为坐标原点，点为椭圆的右焦点，斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，且均在轴的上方，记和的面积分别为，，若，求直线的方程.

6 . 已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上一动点到，距离之和为4，当到轴上的射影恰为时，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，经过点的直线与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记与的面积分别为，，求的最大值.

7 . 已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

8 . 已知右焦点为的椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆C：（a>b>0）的左，右焦点分别为，，，经过点的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，的周长为8.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M，N两点。若M，N关于坐标原点对称，求的值.

10 . 已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.
（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；
（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围