1 . 已知椭圆的左焦点，点在上，过的直线与交于，两点.
（1）求的标准方程；
（2）当时，求直线的方程；
（3）已知点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.

2 . 点为椭圆在第一象限的弧上任意一点，过引轴，轴的平行线，分别交直线于，交轴，轴于两点，记与的面积分别为.
（1）若坐标为，且点与点关于轴对称，试求椭圆的标准方程;
（2）当时，试求的最小值.

3 . 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

4 . 已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）设，，求的取值范围.

5 . 已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆经过点．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.
（1）求的长轴长；
（2）设直线与交于两点（在的右侧），为原点，求.