1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为2，点为轴上一定点，点为上一动点，当轴时，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)斜率为2的动直线与交于不同的两点，直线与的另外一个交点分别为，证明：直线恒过某一定点.

2 . 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

3 . 已知椭圆：离心率，且经点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．

4 . 已知椭圆过点，左焦点为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线，分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线，交于点N，求证：直线的斜率为定值．

5 . 已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．
   
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上的两点，且，求证：为定值；反之，若为此定值时，是否成立？试说明理由．

7 . 已知分别是椭圆的左､右顶点，若椭圆的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于，（异于，两点）两点，连接，并延长，分别交直线于不同的两点，.证明：直线与直线相交于点.

8 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

9 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.

10 . 已知椭圆C：（）过点，A为左顶点，且直线的斜率为.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设在椭圆内部，在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.