1 . 已知椭圆和双曲线有相同的左右焦点，且离心率互为倒数，双曲线的渐近线与椭圆的一个交点为.
(1)求的方程；
(2)直线过与椭圆交于两点，与双曲线的左右两支分别交于两点，，求直线的方程.

2 . 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求的标准方程；
（2）过的右焦点的直线与交于，两点，上一点满足，求．

3 . 已知左､右焦点分别为､的椭圆C：过点，以为直径的圆过C的下顶点A.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且直线､的斜率分别为､，证明：为定值.

4 . 已知椭圆：和椭圆：的离心率相同，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于，两点，且恰为弦的中点，则当点变化时，试问的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线与椭圆C交于M，N两点，点P满足（O为坐标原点），直线与椭圆C的另一个交点为Q，若，求的值.

6 . 已知椭圆两焦点坐标分别为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求所有满足条件的直线的方程.

7 . 已知，是椭圆：上两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.

8 . 已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

9 . 椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．

(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．