1 . 已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)斜率为且不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆经过点，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同两点，，点是线段的中点，点为坐标原点，设射线交椭圆于点，且．
①证明：；
②求的面积的解析式，并计算的最大值．

3 . 设椭圆经过点，且其左焦点坐标为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值．

4 . 已知椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求和的方程；
(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以线段为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆过点，长轴的长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与圆交于两点，为的中点，求面积的最大值.

6 . 已知为椭圆C的左、右焦点，点为其上一点，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于坐标原点O的对称点R，试问△PQR的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且，是坐标原点，求面积的最大值．

8 . 已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为．
(1)求C的方程；
(2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点作直线交E于A，B两点，求面积的最大值.

10 . 椭圆的两个焦点是，，点在椭圆上．
(1)求此椭圆方程；
(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形面积的取值范围．