1 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．

2 . 已知椭圆过点，焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右焦点为点F，右顶点为点A．过点F的直线l交椭圆E于不同的两点，直线与y轴分别交于点．当时，求直线l的方程．

3 . 已知椭圆E：过点，E的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点A、B为椭圆左右顶点，过点且不与x轴重合的直线l分别交E于C，D．直线分别交直线AC和BD于P，Q点，求证：．

4 . 已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.
(1)求E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.

5 . 已知椭圆E：过，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．

6 . 已知椭圆过点为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，求的值.

7 . 已知点为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记，分别为，（点O为坐标原点）的面积，证明：为定值．

8 . 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线的斜率为1时，求的面积；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线（其中）与椭圆交于不同两点，直线分别交直线于点.当的面积最小时，求的值.

10 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．