1 . 已知椭圆离心率为，焦距为.
(1)求的方程；
(2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.

2 . 已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围.

4 . 已知椭圆M：的离心率为，左顶点A到左焦点F的距离为1，椭圆M上一点B位于第一象限，点B与点C关于原点对称，直线CF与椭圆M的另一交点为D．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线AD的斜率为，直线AB的斜率为．求证：为定值．

5 . 设椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 且（为坐标原点）？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.