1 . 已知点是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值；
(3)的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？

2 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，左顶点、下顶点分别为A、，离心率，坐标原点到直线的距离为，过且斜率为的直线与交于，两点.
(1)求的标准方程；
(2)令、的中点为，若存在点()，使得，求的取值范围．

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为4；
(1)求C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值．

4 . 已知椭圆的焦距为2离心率.
(1)求椭圆的方程.
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线与椭圆E的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．
（i）当时，求直线的斜率；
（i i）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆：的一个顶点恰好是抛物线：的焦点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明是等腰三角形.

7 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，其离心率，过左焦点的直线l与椭圆交于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图过原点的直线与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，设直线与椭圆的另一个交点为H，连接得到直线，交x轴于点M，交y轴于点N，记、的面积分别为，，求的最小值.

8 . 已知椭圆:的离心率，且椭圆上的点到其左焦点的最大距离为，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若M在椭圆内，且的面积是面积的两倍，且直线与圆：相切于点，求的长.

9 . 已知椭圆，离心率为，椭圆上任一点满足
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆相交于、两点，若坐标原点总在以为直径的圆外时，求的取值范围.

10 . 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围.