1 . 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．

2 . 双曲线：（a＞0，b＞0） 经过点，且渐近线方程为．
(1)求，的值；
(2)点，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：点与点的纵坐标互为倒数；
(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．

3 . 已知双曲线的焦距为，且过点.
（1）求证：双曲线C的标准方程为；
（2）过点，斜率为k的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且，求的值.

4 . 已知双曲线过点，且右焦点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；