1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线经过点，且其渐近线的斜率为．
(1)求的方程．
(2)若动直线与交于两点，且，证明：为定值．

3 . 已知双曲线的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：.

4 . 已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且，求证：是定值．

5 . 已知点在双曲线上．
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

6 . 已知双曲线C：实轴的左、右端点分别为，，点在C上，且，的斜率之积为．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于M，N两点（均与P不重合），与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，若，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上．

8 . 已知双曲线（，）过，，，四个点中的三个点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，求证：直线经过一个不在双曲线上的定点，并求出该定点的坐标.

9 . 已知双曲线经过点，离心率是．
(1)求双曲线的方程；
(2)在双曲线上任取两点，满足，过作于，求证：存在定点，使是定值．

10 . 已知分别为双曲线的左、右焦点，点在C上，且的面积为6．
(1)求C的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于 两点，Q为x轴上一点，满足，证明：为定值．