解题方法
1 . 如图，已知
是中心在坐标原点、焦点在
轴上的椭圆，
是以的焦点
为顶点的等轴双曲线，点
是与的一个交点，动点
在的右支上且异于顶点.与的方程；
(2)若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线
的斜率分别为
，直线与相交于点
，直线与相交于点
，
，
，求证：
且存在常数
使得
.
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
与的方程；(2)若直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线
的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
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解题方法
2 . 已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双曲线上．过的左焦点F作直线
交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；
(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点
，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
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2024-04-24更新
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1622次组卷
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7卷引用：上海市七宝中学2024届高三上学期期中数学试题
上海市七宝中学2024届高三上学期期中数学试题江苏省苏州市苏州实验中学2023一2024学年高二上学期12月质量检测数学试题（已下线）微考点6-1 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题（三大题型）（已下线）大招18非对称处理山东省济宁市第一中学2024届高三下学期3月定时检测数学试题山东省济宁市第一中学2024届高三下学期4月质量检测数学试卷广东省广州四中2023-2024学年高二下学期期中数学试题
2023·广东梅州·二模
解题方法
3 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
且双曲线
经过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点
作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点
、
，在线段
上取异于点、的点
，满足
，求证：点恒在一条定直线上．
的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．(1)求双曲线
的方程；(2)过点
作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．
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解题方法
4 . 已知等轴双曲线
经过点
，过原点且斜率为
的直线与双曲线交于
、
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、
的斜率
、
均存在，证明
为定值；
(3)已知点
，求
最小时的值.
经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.(1)求双曲线
的方程；(2)设
为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；(3)已知点
，求最小时的值.
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解题方法
5 . 已知双曲线
，四点
中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点
的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线
的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
，四点中恰有三点在C上．(1)求C的方程；
(2)过点
的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
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2022-12-07更新
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453次组卷
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5卷引用：上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）专题11圆锥曲线单元复习与测试（21个考点25种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）（已下线）专题09 双曲线（四大核心考点六种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）广东省广州市第十七中学2023届高三上学期12月月考数学试题（已下线）期末押题预测卷01（范围：选择性必修第一册、数列）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）
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解题方法
6 . 如图，
为坐标原点，双曲线
和椭圆
均过点
，且以
的两个顶点和
的两个焦点为顶点的四边形面积为
的正方形. 
的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且
?证明你的结论.
为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形面积为的正方形. 
的方程；(2)是否存在直线
，使得与交于两点，与只有一个公共点，且?证明你的结论.
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解题方法
7 . 双曲线：
（a＞0，b＞0） 经过点
，且渐近线方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)点，，
是双曲线上不同的三点，且，两点关于
轴对称，
的外接圆经过原点．求证：点与点的纵坐标互为倒数；
(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
：（a＞0，b＞0） 经过点，且渐近线方程为．(1)求
，的值；(2)点
，，是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点．求证：点与点的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线
相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
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8 . 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面
，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为
、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆
，其半径为
；下口为圆
，其半径为
；高（即圆与所在平面间的距离）为
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点
，在下口圆上任取一点
.请给出
、
的值，并求出
与
的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.
，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆
上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面
上.
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9 . 已知双曲线
过点
，且右焦点为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点
的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若
，
，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形
的面积
；
过点，且右焦点为.（1）求双曲线
的方程；（2）过点
的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，若点
是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积；
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解题方法
10 . 已知双曲线
的焦距为
，且过点
.
（1）求证：双曲线C的标准方程为
；
（2）过点
，斜率为k的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且
，求
的值.
的焦距为，且过点.（1）求证：双曲线C的标准方程为
；（2）过点
，斜率为k的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且，求的值.
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