1 . 已知双曲线过点，且双曲线C的渐近线方程为．

(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的两支分别于A，B两点，直线l与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线l使得坐标原点O在以为直径的圆上且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

2 . 与椭圆有公共焦点的双曲线过点，过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点为坐标原点）.
(1)求双曲线的方程;
(2)求的面积的最小值.

3 . 双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为．
(1)求曲线的方程；
(2)动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值．

4 . 双曲线，右焦点为.
(1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；
(2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.