1 . 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，．
(1)求抛物线的标准方程和准线方程；
(2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．

2 . 已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值.

3 . 曲线，第一象限内点在上，的纵坐标为.
(1)若到准线距离为3，求；
(2)设为坐标原点，，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为4.证明：直线过定点；
(3)直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于，是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围.

4 . 已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.

5 . 已知椭圆，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作拋物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别为、．

(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)计算的值；
(3)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；

6 . 设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

7 . 已知圆，抛物线的经过点.
(1)求抛物线的准线方程;
(2)若直线与抛物线相交于不同两点，，又与圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程;
(3)，是抛物线上异于点的两个不同的动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.

8 . 已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴上，到直线的距离为，点，不过点的直线l与抛物线交于两点，且.
(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程；
(2)求证：直线过定点，并求该定点坐标.

9 . 已知抛物线C：，经过点．
(1)求抛物线C的方程及准线方程；
(2)设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．

10 . 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点F₂的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．