1 . 已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.

（1）求椭圆C的方程；
（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.
（i）当面积最大时，求的方程；
（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.

2 . 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．

3 . ，是椭圆上两点，线段的中点在直线上，则直线与轴的交点的纵坐标的取值范围是__________．

4 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率，
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点，
①证明：（其中为坐标原点）；
②设，求实数的取值范围..

5 . 已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，请写出两个符合条件的实数的值______．

6 . 已知中心为原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且椭圆C的长轴是圆的一条直径.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与圆M交于P、Q两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求的取值范围.

7 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

8 . 如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．
①求直线PA与PB的斜率之积；
②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．

9 .

已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

10 . 已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．