1 . 一条斜率为1的直线与离心率的椭圆交于两点，直线与轴交于点，且，，求直线和椭圆的方程；

2 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值

3 . 已知椭圆，过点且离心率为，是椭圆上纵坐标不为零的两点，若且，其中为椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段的垂直平分线在轴上的截距的取值范围．

4 . 设是椭圆上的两点，为坐标原点.
（Ⅰ）设，且，
.求证:点在椭圆上;
（Ⅱ）若，求的最小值.

5 . 已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．

6 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，并与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线． 求证：．

7 . 如图，已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．设直线与椭圆相交于两点，点关于轴对称点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，求直线的方程；
（3）试问：当变化时，直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

8 . 若，椭圆的右焦点为F，直线l的方程为x=m，点A在直线l上，线段AF交椭圆C于点B，若，则直线AF的倾斜角的大小为_____．

9 . 已知椭圆（）的离心率为，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，，求直线的方程．