1 . 已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求椭圆的方程．
(2)记直线的斜率为，证明：为定值．
(3)试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

2 . 已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值.

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点．若斜率为的直线与椭圆相切于点，过直线上异于点的一点，作斜率为的直线与椭圆交于两点，定义为点处的切割比，记为．
(1)求的方程；
(2)证明：与点的坐标无关；
(3)若，且（为坐标原点），则当时，求直线的方程．

5 . 已知椭圆（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，直线平行，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值．

7 . 已知椭圆：的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线、分别与轴交于两点．问：以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

8 . 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过的直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，离心率为，直线与椭圆交于两点，四边形的周长为8，直线（不经过点）与交于两点．
(1)若以为直径的圆过点，证明：经过定点．
(2)若为坐标原点，关于轴对称，且，，直线与交于另一点，证明：三点共线．

10 . 在直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．