1 . 已知椭圆（）的左焦点和右顶点分别为，，是椭圆上一点，轴，直线的斜率为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与轴交于点，过的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程．

2 . 已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.

3 . 已知椭圆C：的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P在椭圆C上，且.
(1)过点D作斜率为2的直线l，设l与椭圆C的另一个交点为G，求；
(2)若直线AD与直线BP交于点E，直线DP与x轴交于点M，求证：直线EM过定点T（2，1）.

4 . 已知椭圆的焦距为4，其左､右顶点为，点为其上一动点，且的面积最大值为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若为曲线上异于的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行.点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，是否存在直线与直线平行？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

6 . 已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．

7 . 已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，求证：

8 . 椭圆经过点，离心率是．若斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点E、G．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线PE与椭圆的另一点交点为M，直线PG与椭圆的另一个交点为N．若M、N和点共线，求k．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是椭圆上一点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过椭圆右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于，．
①求证：，两点的纵坐标之积为定值；
②求面积的最小值．

10 . 已知椭圆的离心率为，点分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的垂心？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.