1 . 求证：若直线交椭圆于，两点，弦的中点为，则直线斜率

2 . 已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.

3 . 已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．

4 . 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.

5 . 已知椭圆长轴为，焦点坐标分别为，．
(1)求椭圆方程；
(2)已知直线，当直线与椭圆相交时，证明直线被椭圆截得的弦的中点在一条直线上．

6 . 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．

7 . 我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．