1 . 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆C：上一点，从原点O向圆作两条切线，分别与椭圆C交于点，直线的斜率分别记为.
   
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的情况下，求的最大值.

2 . 已知椭圆的右顶点为，左焦点为.
（1）求的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线、，直线交于、两点，直线交圆于、两点，为的中点，求的面积的取值范围.

3 . 已知椭圆的上顶点为，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过点的直线与椭圆交于两点，满足：，求面积的最大值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.若的面积取得最大值时，求的内切圆的面积.

5 . 已知椭圆的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点满足，为坐标原点，求四边形面积的取值范围.

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不过原点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，O为坐标原点，直线的斜率依次成等比数列，求面积的最大值.

7 . 已知椭圆E：，过右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B两点不在x轴上），椭圆E在A，B两点处的切线交于P，点P在定直线上.
（1）记点，求过点与椭圆E相切的直线方程；
（2）以为直径的圆过点F，求面积的最小值.

8 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，且直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最大值与最小值．

9 . 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，当直线的斜率为时，线段的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与直线垂直的直线与椭圆交于、两点，求四边形面积的最小值.

10 . 顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相切于点，过点作关于原点的对称点，过点作，垂足为，求面积的最大值.