1 . 如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．

2 . 设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）.

(1)求椭圆E的方程；
(2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的斜率分别记为，，且，求证：直线PQ过定点，并求出此定点的坐标.

4 . 已知椭圆，点为椭圆在第一象限的点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点．
（1）设点到直线、的距离分别为、，求的取值范围；
（2）若△的三个顶点都在椭圆上，且为△的重心，判断△的面积是否为定值，并说明理由．

5 . 已知椭圆：的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，，为椭圆上异于，的两点，满足，记，的斜率分别为，，求证：为定值．

6 . 已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点，，过的直线与椭圆交于，两点，且面积是面积的3倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线，与直线分别交于，两点，试问：以为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

7 . 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点，，过的直线与椭圆交于两点，且面积是面积的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线分别交于两点，求证：.

8 . 如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，为椭圆上位于第一象限上的点，为椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，，的面积为6.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆有且只有一个公共点，设椭圆的两焦点到直线的距离分别是，，试问是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由.

9 . 已知椭圆()的上顶点为，左焦点为，离心率为，直线与圆相切.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点且斜率存在的直线与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，试判断是否为定值？并说明理由.

10 . 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其内接正方形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．