1 . 已知点，是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹曲线为；
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交曲线于两点，交直线于．过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点M的坐标．

2 . 设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，．
(1)求的值；
(2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值．

3 . 已知为圆：上任一点，，，，且满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与轨迹相交于,两点，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.
(1)求的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.

5 . 如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．

6 . 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：.

7 . 已知 的两顶点坐标，．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．

8 . 已知椭圆C：，，为椭圆C的左、右顶点，，为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点.
(1)求直线和的斜率之积；
(2)直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点），直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点.
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：为定值，并求出该定值.

9 . 设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

10 . 已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点．
(1)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)若点是直线上的动点，且，求面积的最小值