1 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

2 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得？（O为坐标原点）若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.

4 . 已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.

5 . 已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

6 . 已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭圆C于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，B为椭圆C的上顶点，以B为圆心且过、的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知M、N为椭圆C上两点，若直线BM和BN的斜率之和为－2.试探究：直线MN是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

9 . 已知椭圆的左､右顶点分别为A,B，点，连接交椭圆C于点M､N，为直角三角形，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C交于D､E两点，若，求证：直线l过定点

10 . 已知椭圆：（）的短半轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.