1 . 已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，求证：．

2 . 已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，的面积的最大值为4，直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，设直线和的斜率分别为，若，求的面积的最大值．

3 . 在平面直角坐标系中，分别过点,的直线,的斜率之积为.
(1)求与的交点的轨迹方程；
(2)已知直线与直线交于点，线段的中点为，若点的坐标为，证明：点关于直线的对称点在上.

4 . 已知点是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于两点，△面积的最大值为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，是否存在定点，使得直线的斜率之和为定值？若存在，求出定点的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．

6 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

7 . 已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值．

8 . 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积；
(3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标.

9 . 已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于，且.
(1)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
(2)设.过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.