1 . 定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆.

(1)如图，已知为上的动点，延长至点，使得的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)在条件（1）下，已知椭圆是椭圆的相似椭圆，是椭圆的左､右顶点.点是上异于四个顶点的任意一点，当（为曲线的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值.

2 . 椭圆的左、右顶点分别为，点为第一象限内的动点，直线，与分别交于另外的两点，已知的斜率之比为．
(1)证明：直线过定点：
(2)设和的面积分别为和，求的最大值．

3 . 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的左右焦点分别是，，点P在椭圆C上，以为直径的圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于两点，其中.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若（其中O为坐标原点），求k：
(3)证明：是定值.

6 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知，分别是椭圆的上下顶点，，点在椭圆上，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于轴上方两点，．若，试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

8 . 已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点．
(1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由；
(2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围．

9 . 已知椭圆：的右焦点为在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，直线分别与直线交于两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．