1 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．
①求证：两点的纵坐标之积为定值；
②求面积的最小值．

2 . 已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

4 . 设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.

5 . 已知椭圆C：的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点的直线与椭圆C交于A，B两点.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)设直线AF，BF的斜率分别为，求的值.

6 . 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线MP与直线NP的斜率之积为.记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过点作直线与曲线C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的左右焦点分别为、，左右顶点分别是、，长轴长为，是以原点为圆心，为半径的圆的任一条直径，四边形的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过原点的直线：与椭圆交于、两点，
①若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
②若直线的斜率是直线、斜率的等比中项，求面积的取值范围.

8 . 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）当点异于点时，求证：为定值.

9 . 已知椭圆：的短轴长为2，离心率.过椭圆的右焦点作直线l（不与轴重合）与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.