1 . 已知椭圆（，）的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为.
（1）求的方程；
（2）点，在上，且.证明：存在定点，使得到直线的距离为定值.

2 . 在平面直角坐标系中，已知两点，，动点到点的距离为，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，设直线：与曲线交于，两点，求证：.

3 . 已知椭圆的左，右顶点分别为，离心率，椭圆上任意一点到两个焦点，的距离之积的最大值为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点为直线：上的任意一点，直线、与椭圆分别交于两点、（不同于、两点），求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标，

4 . 已知圆，圆的弦过点，连接，，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，为E的上顶点.
（1）求E的方程；
（2）以A为直角顶点的的另两个顶点均在E上运动，求证：直线过定点.

6 . 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（       ）

A．若，则的面积为

B．四边形可能为矩形

C．直线的斜率为

D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，M是椭圆上的动点，的最大面积为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：过椭圆上的一点的切线方程为：；
（3）设点P是直线上的一个动点，过P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．

8 . 已知椭圆：（）经过点，，为的左、右顶点，且直线，的斜率之积为．
（1）求的方程；
（2）直线：与交于，两点，当为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
（1）求的方程．
（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．

10 . 已知中心为坐标原点的椭圆的一个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若不经过点的直线：与椭圆交于，两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.