1 . 已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，．
(1)求的方程；
(2)证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件．

2 . 动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求线段的长．

3 . 已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积．

4 . 设双曲线的右焦点为，其中一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作直线的垂线（点，在直线的两侧），垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

6 . 已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

7 . 已知双曲线：的实轴长为，为右焦点，，，且为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与的左右两支分别交于、两点，求面积的取值范围.

8 . 如图，若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.