1 . 已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点．

(1)求双曲线方程．
(2)过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值．

2 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过定点的动直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等.

4 . 如图，双曲线的左顶点为P，左、右焦点分别为，以线段为直径的圆O与双曲线在第一象限内交于Q点，与其渐近线交于E点，且直线与双曲线的斜率小于O的渐近线平行.

(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线交双曲线于B点，且，求的值.

5 . 设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.

6 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B；
步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合；
步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.
你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.
若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，AB=4，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点T重合，折痕与直线TA交于点P，P的轨迹为曲线C.
(1)以AB所在直线为x轴建立适当的坐标系，求C的方程；
(2)设AB的中点为O，是否存在一个定圆O，使得当C的弦PQ与圆O相切时，C上存在异于P，Q的点M，N使得，且直线PM，QN均与圆O相切？若存在，求出圆O的方程及四边形PQNM面积的取值范围；若不存在，说明理由.

7 . 已知双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．

9 . 已知双曲线，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于不同的两点（均异于点），求直线的斜率之和.

10 . 已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且过点，直线交双曲线于A、B两点，且原点O到直线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：.