1 . 已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．

(1)求C的方程；
(2)如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；
②求的最小值．

2 . 已知一定点，及一定直线l：，以动点M为圆心的圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设P在直线l上，直线PA，PB分别与曲线C相切于A，B，N为线段AB的中点．求证：，且直线AB恒过定点．

3 . 已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且（O为坐标原点）．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)已知点P(0，2)，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．

4 . 已知抛物线上一点到它的准线的距离为．
（1）求的值；
（2）在直线上任意一点作曲线的切线，切点分别为、，求证：直线过定点．

5 . 已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

6 . 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．
（1）为坐标原点，求证：；
（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值

7 . 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；   
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.