1 . 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点､，且满足，证明直线过定点，并求出点的坐标.

2 . 已知抛物线过点，为原点．

(1)求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)直线与抛物线交于不同的两点、（、不与重合）．过点作轴的垂线分别与直线、交于点、，且为线段的中点．试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．

3 . 已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求抛物线的方程及的值；
(2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
(3)若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值.

4 . 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

5 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到直线的距离小1，记P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)在直线上任取一点M，过M作曲线C的切线，切点分别为A、B，求证直线AB过定点．

6 . 已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧.
(1)若（其中O为坐标原点），求△ABO与△AFO面积之和的最小值；
(2)若A，B，F三点共线，A，B处的切线交点为P，求P到F的最小距离.

7 . 已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为.
①求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；②求的最小值.

8 . 设抛物线位于第一象限的点M与焦点F的距离为，点M到x轴的距离为2p，直线l与抛物线相交于A，B两点，且．
(1)求抛物线的方程和点M的坐标；
(2)探究直线l是否恒过定点，并说明理由．

9 . 已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值．

10 . 已知点F是拋物线C:y²=2px(p>0)的焦点,点M(x₀,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.