4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m.
(1)设，若的焦距为2，l过点，求l的方程；
(2)设，若是上的一点，且，l与交于不同的两点A、B，Q为的上顶点，求面积的最大值；
(3)设是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义.用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出该命题的证明.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.
(1)求，的方程：
(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

6 . 已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且，.
（1）证明：直线与椭圆相切；
（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.
（i）证明：椭圆的离心率为定值；
（ii）记的面积为，若，证明：.