2 . 已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．

4 . 椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．

6 . 如图所示，已知圆，点，点为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点.

(1)当点在圆上运动时，求点的运动轨迹的方程；
(2)判断直线和曲线的位置关系，并给出证明.

8 . 如图所示，已知椭圆的左､右焦点分别为､，且，点M在直线上运动，线段与椭圆C的交点为N，当轴时，直线的斜率的绝对值为.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P在椭圆C上，若直线的斜率与直线的斜率之积等于，证明：直线始终与椭圆C相切.

9 . 已知椭圆的长轴长为4，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，点，在椭圆上，轴，垂足为，直线交轴于点，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆的位置关系.

10 . 已知椭圆的右焦点为，右准线为.点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，连接并延长交椭圆于点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与右准线交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标；
（3）试确定直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由.