【推荐1】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点，

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若是椭圆的左右顶点，过点的动直线交椭圆与两点，试探究直线与的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.

【推荐1】已知椭圆C：过点，离心率，右焦点为F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，若，，求证：为定值．

【推荐2】设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，与点关于直线对称的点位于抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线交抛物线于，两点（非点），若过焦点，求的值.

【推荐1】已知椭圆的左，右顶点分别为右焦点为，直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，，， 的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若分别为椭圆上不与坐标轴重合的两点，且，求的值.

【推荐3】椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．