1 . 已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为B，且．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点M，N，且O为坐标原点，若，求实数的取值范围．

2 . 若关于x的方程有解，则实数b的取值范围是______．

3 . 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆C：，点，分别为椭圆的左、右焦点．
(1)求椭圆C的短轴长和点，的坐标；
(2)设为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线与y轴相交于点Q，若点在以PQ为直径的圆的外部，求的取值范围．

5 . 实数满足，求的最大值.

6 . 已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆E上，A为椭圆E的右顶点，O为坐标原点，过点A的直线l与椭圆E的另外一个交点为P，线段PA的中点为M.
(1)若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；
(2)若，求三角形OPM的面积.

7 . 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为_______

8 . 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

9 . 如图，两个离心率相等的椭圆与椭圆，焦点均在x轴上A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，过A，B分别作椭圆的切线AC，BD，若AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________.

10 . 在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为______________，面积的取值范围是_______________.